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   JinZhihui: LDA-math-神奇的Gamma函数  | 数螺 | NAUT IDEA
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      <p>
       致力于数据科学的推广和知识传播
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    JinZhihui: LDA-math-神奇的Gamma函数
   </h1>
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       <article class="post-6915 post type-post status-publish format-standard hentry category-math category-probability tag-gamma tag-wallis- tag-123 tag-629 tag-632 tag-630 tag-628" id="post-6915">
        <header class="entry-header">
         <h1 class="entry-title">
          LDA-math-神奇的Gamma函数
         </h1>
         <div class="entry-meta">
          <span class="date">
           <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/" rel="bookmark" title="链向LDA-math-神奇的Gamma函数的固定链接">
            <time class="entry-date" datetime="2013-01-13T19:33:31+00:00">
             2013/01/13
            </time>
           </a>
          </span>
          <span class="categories-links">
           <a href="http://cos.name/category/math/" rel="category tag">
            数学方法
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/category/math/probability/" rel="category tag">
            概率论
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          </span>
          <span class="tags-links">
           <a href="http://cos.name/tag/gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/" rel="tag">
            Gamma函数
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/gamma%e5%88%86%e5%b8%83/" rel="tag">
            Gamma分布
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/wallis-%e5%85%ac%e5%bc%8f/" rel="tag">
            Wallis 公式
           </a>
           、
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            二项分布
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           、
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            哥德巴赫
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e6%8f%92%e5%80%bc/" rel="tag">
            插值
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e6%ac%a7%e6%8b%89/" rel="tag">
            欧拉
           </a>
           、
           <a href="http://cos.name/tag/%e9%98%b6%e4%b9%98/" rel="tag">
            阶乘
           </a>
          </span>
          <span class="author vcard">
           <a class="url fn n" href="http://cos.name/author/rickjin/" rel="author" title="查看所有由rickjin发布的文章">
            rickjin
           </a>
          </span>
         </div>
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        </header>
        <!-- .entry-header -->
        <div class="entry-content">
         <p>
          <strong>
           1. 神奇的Gamma函数
          </strong>
          <br/>
          <strong>
           1.1 Gamma 函数诞生记
          </strong>
          <br/>
          学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数
          <br/>
          $$ \Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt $$
          <br/>
          通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质
          <br/>
          $$\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$$
          <br/>
          于是很容易证明，$\Gamma(x)$ 函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质
          <br/>
          $$\Gamma(n) = (n-1)! $$
         </p>
         <p>
          学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：
         </p>
         <ul>
          <li>
           这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；
          </li>
          <li>
           为何定义 $\Gamma$ 函数的时候，不使得这个函数的定义满足$\Gamma(n) = n! $ 而是 $\Gamma(n) = (n-1)! $
          </li>
         </ul>
         <p>
          最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍 Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。
         </p>
         <p>
          1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列 $1,4,9,16,\cdots$ 可以用通项公式 $n^2$ 自然的表达，即便 $n$ 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线$y=x^2$通过所有的整数点$(n,n^2)$，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列 $1,2,6,24,120,720,\cdots$,我们可以计算 $2!,3!$, 是否可以计算 $2.5!$呢？我们把最初的一些 $(n,n!)$的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。
         </p>
         <p>
          <a href="http://www.52nlp.cn/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b01/euler" rel="attachment wp-att-5086">
           <br/>
          </a>
          <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/factorial/" rel="attachment wp-att-6930">
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          </a>
          <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/factorial-curve/" rel="attachment wp-att-6931">
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          </a>
         </p>
         <p>
          但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了$\Gamma$ 函数的诞生，当时欧拉只有22岁。
         </p>
         <p>
          <span id="more-6915">
          </span>
         </p>
         <p>
          事实上首先解决$n!$的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，
          <br/>
          如果 $m,n$都是正整数，如果 $m \rightarrow \infty$，有
          <br/>
          $$ \frac{1\cdot 2\cdot 3 \cdots m}{(1+n)(2+n)\cdots (m-1+n)}(m+\frac{n}{2})^{n-1} \rightarrow n! $$
          <br/>
          于是用这个无穷乘积的方式可以把$n!$的定义延拓到实数集合。例如，取 $n=2.5$, $m$ 足够大，基于上式就可以近似计算出 $2.5!$。
         </p>
         <p>
          欧拉也偶然的发现 $n!$ 可以用如下的一个无穷乘积表达
          <br/>
          \begin{equation}
          <br/>
          \label{euler-series}
          <br/>
          \Bigl[\Bigl(\frac{2}{1}\Bigr)^n\frac{1}{n+1}\Bigr]
          <br/>
          \Bigl[\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^n\frac{2}{n+2}\Bigr]
          <br/>
          \Bigl[\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^n\frac{3}{n+3}\Bigr] \cdots = n!
          <br/>
          \quad  (*)
          <br/>
          \end{equation}
         </p>
         <p>
          用极限形式，这个式子整理后可以写为
          <br/>
          \begin{equation}
          <br/>
          \label{euler-series2}
          <br/>
          \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1\cdot 2\cdot 3 \cdots m}{(1+n)(2+n)\cdots (m+n)}(m+1)^{n} = n!
          <br/>
          \quad  (**)
          <br/>
          \end{equation}
          <br/>
          左边可以整理为
          <br/>
          \begin{align*}
          <br/>
          &amp; \frac{1\cdot 2\cdot 3 \cdots m}{(1+n)(2+n)\cdots (m+n)}(m+1)^{n} \\
          <br/>
          = &amp; 1\cdot 2\cdot 3 \cdots n \cdot \frac{(n+1)(n+2)\cdots m}{(1+n)(2+n)\cdots m }
          <br/>
          \cdot \frac{(m+1)^{n}}{(m+1)(m+2)\cdots (m+n)} \\
          <br/>
          = &amp; n! \frac{(m+1)^{n}}{(m+1)(m+2)\cdots (m+n)} \\
          <br/>
          = &amp; n!\prod_{k=1}^{n} \frac{m+1}{m+k} \rightarrow n! \qquad (m\rightarrow \infty)
          <br/>
          \end{align*}
          <br/>
          所以 (*)、(**)式都成立。
         </p>
         <p>
          欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算，看看是否有规律可循，欧拉极其擅长数学的观察与归纳。当 $n=1/2$ 的时候，带入(*)式计算，整理后可以得到
          <br/>
          $$\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)! = \sqrt{\frac{2\cdot4}{3\cdot3} \cdot \frac{4\cdot6}{5\cdot5}\cdot \frac{6\cdot8}{7\cdot7} \cdot \frac{8\cdot10}{9\cdot9} \cdots}$$
          <br/>
          然而右边正好和著名的 Wallis 公式关联。Wallis 在1665年使用插值方法计算半圆曲线 $y = \sqrt{x(1-x)}$ 下的面积(也就是直径为1的半圆面积)的时候，得到关于$\pi$的如下结果，
          <br/>
          $$ \frac{2\cdot4}{3\cdot3} \cdot \frac{4\cdot6}{5\cdot5}\cdot \frac{6\cdot8}{7\cdot7} \cdot \frac{8\cdot10}{9\cdot9} \cdots = \frac{\pi}{4}$$
          <br/>
          于是，欧拉利用 Wallis 公式得到了如下一个很漂亮的结果
          <br/>
          $$ \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)! = \frac{\sqrt{\pi}}{2} $$
         </p>
         <p style="text-align: center">
          <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/euler/" rel="attachment wp-att-6929">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/01/euler.jpg"/>
          </a>
          大数学家欧拉
         </p>
         <p>
          欧拉和高斯都是具有超凡直觉的数学家，但是欧拉和高斯的风格迥异。高斯是个老狐狸，数学上非常严谨，发表结果的时候却都把思考的痕迹抹去，只留下漂亮的结果，这招致了一些数学家对高斯的批评；而欧拉的风格不同，经常通过经验直觉做大胆的猜测，而他的文章中往往留下他如何做数学猜想的痕迹，而文章有的时候论证不够严谨。 拉普拉斯曾说过：”读读欧拉,他是所有人的老师。”波利亚在他的名著《数学与猜想》中也对欧拉做数学归纳和猜想的方式推崇备至。
         </p>
         <p>
          欧拉看到 $ (\frac{1}{2})!$ 中居然有 $\pi$, 对数学家而言，有$\pi$ 的地方必然有和圆相关的积分。由此欧拉猜测 $n!$ 一定可以表达为某种积分形式，于是欧拉开始尝试把 $n!$ 表达为积分形式。虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis 是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分 $\int_0^1 x^\frac{1}{2}(1-x)^\frac{1}{2}dx$，受 Wallis 的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分
          <br/>
          $$ J(e,n) = \int_0^1 x^e(1-x)^ndx$$
          <br/>
          此处n 为正整数，$e$ 为正实数。利用分部积分方法，容易得到
          <br/>
          $$ J(e,n) = \frac{n}{e+1}J(e+1,n-1) $$
          <br/>
          重复使用上述迭代公式，最终可以得到
          <br/>
          $$ J(e,n) = \frac{1\cdot2\cdots n}{(e+1)(e+2)\cdots(e+n+1)} $$
          <br/>
          于是欧拉得到如下一个重要的式子
          <br/>
          $$ n! = (e+1)(e+2)\cdots(e+n+1)\int_0^1 x^e(1-x)^ndx $$
          <br/>
          接下来，欧拉使用了一点计算技巧，取 $e=f/g$ 并且令 $f \rightarrow 1, g \rightarrow 0$,
          <br/>
          然后对上式右边计算极限(极限计算的过程此处略去，推导不难，有兴趣的同学看后面的参考文献吧)，于是欧拉得到如下简洁漂亮的结果：
          <br/>
          $$ n! = \int_0^1 (-\log t)^ndt $$
          <br/>
          欧拉成功的把$n!$表达为了积分形式！如果我们做一个变换 $t=e^{-u}$,就可以得到我们常见的Gamma 函数形式
          <br/>
          $$ n! = \int_0^{\infty} u^ne^{-u}du $$
          <br/>
          于是,利用上式把阶乘延拓到实数集上，我们就得到 Gamma 函数的一般形式
          <br/>
          $$ \Gamma(x) = \int_0^1 (-\log t)^{x-1}dt = \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt $$
         </p>
         <p style="text-align: center">
          <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/gamma-func/" rel="attachment wp-att-6935">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/01/gamma-func.png"/>
          </a>
         </p>
         <p>
          Gamma 函数找到了，我们来看看第二个问题，为何 Gamma 函数被定义为 $\Gamma(n)=(n-1)!$, 这看起来挺别扭的。如果我们稍微修正一下，把Gamma 函数定义中的 $t^{x-1}$ 替换为$t^x$
          <br/>
          $$ \Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x}e^{-t}dt $$
          <br/>
          这不就可以使得 $\Gamma(n)=n!$了嘛。欧拉最早的Gamma函数定义还真是如上所示，选择了$\Gamma(n)=n!$，可是欧拉不知出于什么原因，后续修改了 Gamma 函数的定义，使得$\Gamma(n)=(n-1)!$。 而随后勒让德等数学家对Gamma 函数的进一步深入研究中，认可了这个定义，于是这个定义就成为了既成事实。有数学家猜测，一个可能的原因是欧拉研究了如下积分
          <br/>
          $$ B(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx $$
          <br/>
          这个函数现在称为Beta 函数。如果Gamma 函数的定义选取满足 $\Gamma(n)=(n-1)!$, 那么有
          <br/>
          $$ B(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} $$
          <br/>
          非常漂亮的对称形式。可是如果选取$\Gamma(n)=n!$ 的定义，令
          <br/>
          $$ E(m, n) = \int_0^1 x^{m}(1-x)^{n}dx $$
          <br/>
          则有
          <br/>
          $$ E(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n+1)} $$
          <br/>
          这个形式显然不如 $B(m,n)$优美，而数学家总是很在乎数学公式的美感的。
         </p>
         <p>
          要了解更多的 Gamma 函数的历史，推荐阅读
         </p>
         <ul>
          <li>
           Philip J. Davis, Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma Function
          </li>
          <li>
           Jacques Dutka, The Early History of the Factorial Function
          </li>
          <li>
           Detlef Gronnau, Why is the gamma function so as it is?
          </li>
         </ul>
         <p>
          <strong>
           1.2 Gamma 函数欣赏
          </strong>
         </p>
         <p>
          <em>
           Each generation has found something of interest to say about the gamma function. Perhaps the next generation will also.
          </em>
          <br/>
          <em>
           —Philip J.Davis
          </em>
         </p>
         <p>
          Gamma 函数从它诞生开始就被许多数学家进行研究，包括高斯、勒让德、威尔斯特拉斯、柳维尔等等。这个函数在现代数学分析中被深入研究，在概率论中也是无处不在，很多统计分布都和这个函数相关。Gamma 函数作为阶乘的推广，首先它也有和 Stirling 公式类似的一个结论
          <br/>
          $$ \Gamma(x) \sim \sqrt{2\pi}e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}}$$
          <br/>
          另外， Gamma 函数不仅可以定义在实数集上，还可以延拓到整个复平面上。
         </p>
         <p style="text-align: center">
          <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/gamma-complex/" rel="attachment wp-att-6933">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/01/gamma-complex.png"/>
          </a>
          复平面上的Gamma 函数
         </p>
         <p>
          Gamma 函数有很多妙用，它不但使得 (1/2)! 的计算有意义，还能扩展很多其他的数学概念。比如导数，我们原来只能定义一阶、二阶等整数阶导数，有了Gamma 函数我们可以把函数导数的定义延拓到实数集，从而可以计算 1/2 阶导数,同样的积分作为导数的逆运算也可以有分数阶。我们先考虑一下 $x^n$ 的各阶导数
         </p>
         <p>
          <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/derivatives/" rel="attachment wp-att-6925">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/01/derivatives.png"/>
          </a>
         </p>
         <p>
          由于k阶导数可以用阶乘表达，于是我们用Gamma 函数表达为
          <br/>
          $$ \frac{\Gamma{(n+1)}}{\Gamma{(n-k+1)}} x^{n-k} $$
          <br/>
          于是基于上式，我们可以把导数的阶从整数延拓到实数集。例如，取$n=1, k=\frac{1}{2}$我们可以计算 $x$ 的 $\frac{1}{2}$阶导数为
          <br/>
          $$ \frac{\Gamma{(1+1)}}{\Gamma{(1-1/2+1)}} x^{1-1/2} = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{\pi}}$$
         </p>
         <p>
          很容易想到对于一般的函数 $f(x)$ 通过 Taylor 级数展开可以表达为幂级数，于是借用 $x^n$ 的分数阶导数，我们可以尝试定义出任意函数的分数阶导数。不过有点遗憾的是这种定义方法并非良定义的，不是对所有函数都适用，但是这个思想却是被数学家广泛采纳了，并由此发展了数学分析中的一个研究课题：Fractional Calculus,在这种微积分中，分数阶的导数和积分都具有良定义，而这都依赖于 Gamma 函数。
         </p>
         <p>
          Gamma 函数和欧拉常数$\gamma$ 有密切关系，可以发现
          <br/>
          $$ \gamma = -\frac{d\Gamma(x)}{dx}|_{x=1} =\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} – \log n) $$
         </p>
         <p>
          进一步还可以发现 Gamma 函数和黎曼函数$\zeta(s)$有密切联系，
          <br/>
          $$ \zeta(s) = 1+\frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots $$
          <br/>
          而$\zeta$ 函数涉及了数学中著名的黎曼猜想和素数的分布定理。希尔伯特曾说，如果他在沉睡1000年后醒来,他将问的第一个问题便是:黎曼猜想得到证明了吗？
         </p>
         <p style="text-align: center">
          <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/digamma-func/" rel="attachment wp-att-6926">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/01/digamma-func.png"/>
          </a>
         </p>
         <p style="text-align: center">
          $\log \Gamma(x)$
         </p>
         <p>
          从Gamma 函数的图像我们可以看到它是一个凸函数, 不仅如此, $\log\Gamma(x)$ 也是一个凸函数，数学上可以证明如下定理:
         </p>
         <p>
          <strong>
           [Bohr-Mullerup定理]
          </strong>
          如果 $f:(0,\infty)\rightarrow (0,\infty)$,且满足
         </p>
         <ol>
          <li>
           $f(1) = 1$
          </li>
          <li>
           $f(x+1) = xf(x)$
          </li>
          <li>
           $\log f(x)$ 是凸函数
          </li>
         </ol>
         <p>
          那么 $f(x) = \Gamma(x)$, 也就是 $\Gamma(x)$是唯一满足以上条件的函数。
         </p>
         <p>
          如下函数被称为 Digamma 函数，
          <br/>
          $$\Psi(x) = \frac{d\log\Gamma(x)}{dx}$$
          <br/>
          这也是一个很重要的函数，在涉及求Dirichlet 分布相关的参数的极大似然估计时，往往需要使用到这个函数。Digamma 函数具有如下一个漂亮的性质
          <br/>
          $$ \Psi(x+1) = \Psi(x) + \frac{1}{x} $$
          <br/>
          函数$\Psi(x)$和欧拉常数$\gamma$ 以及 $\zeta$ 函数都有密切关系，令
          <br/>
          $$\Psi_n(x) = \frac{d^{n+1}\log\Gamma(x)}{dx^{n+1}}$$
          <br/>
          则 $\Psi_0(x) = \Psi(x)$,可以证明
          <br/>
          $$\Psi(1) = -\gamma, \Psi(2) = 1-\gamma$$
          <br/>
          $$\Psi_1(1) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, \Psi_2(1) = -2\zeta(3)$$
         </p>
         <p>
          所以Gamma 函数在数学上是很有魅力的，它在数学上应用广泛，不仅能够被一个理科本科生很好的理解，本身又足够的深刻，具有很多漂亮的数学性质，历史上吸引了众多一流的数学家对它进行研究。美国数学家 Philip J.Davis 写了篇很有名的介绍 Gamma 函数的文章：“Leonhard Euler’s Integral:A Historical Profile of the Gamma Function”，文中对 Gamma 函数一些特性发现的历史进行了很详细的描述，这篇文章获得了 Chauvenet Prize(美国数学会颁发的数学科普最高奖)。
          <a href="http://www.52nlp.cn/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b02/digamma-func" rel="attachment wp-att-5101">
           <br/>
          </a>
         </p>
         <p>
          (本小节主要是数学欣赏，如果对某些概念不熟悉，就略过吧:-))
         </p>
         <p>
          <strong>
           1.3 从二项分布到Gamma 分布
          </strong>
         </p>
         <p>
          Gamma 函数在概率统计中频繁现身，众多的统计分布，包括常见的统计学三大分布($t$ 分布，$\chi^2$ 分布，$F$ 分布)、Beta分布、 Dirichlet 分布的密度公式中都有 Gamma 函数的身影；当然发生最直接联系的概率分布是直接由 Gamma 函数变换得到的 Gamma 分布。对Gamma 函数的定义做一个变形，就可以得到如下式子
          <br/>
          $$ \int_0^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}e^{-x}}{\Gamma(\alpha)}dx = 1 $$
          <br/>
          于是，取积分中的函数作为概率密度，就得到一个形式最简单的Gamma 分布的密度函数
          <br/>
          $$Gamma(x|\alpha) = \frac{x^{\alpha-1}e^{-x}}{\Gamma(\alpha)} $$
          <br/>
          如果做一个变换 $x=\beta t$, 就得到Gamma 分布的更一般的形式
          <br/>
          $$Gamma(t|\alpha, \beta) = \frac{\beta^\alpha t^{\alpha-1}e^{-\beta t}}{\Gamma(\alpha)} $$
          <br/>
          其中 $\alpha$ 称为 shape parameter, 主要决定了分布曲线的形状;而$\beta$ 称为 rate parameter 或者inverse scale parameter ($\frac{1}{\beta}$ 称为scale parameter),主要决定曲线有多陡。
         </p>
         <p style="text-align: center">
          <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-%e7%a5%9e%e5%a5%87%e7%9a%84gamma%e5%87%bd%e6%95%b0/gamma-distribution/" rel="attachment wp-att-6934">
           <img src="http://cos.name/wp-content/uploads/2013/01/gamma-distribution.png"/>
          </a>
          $Gamma(t|\alpha,\beta)$分布图像
         </p>
         <p>
          Gamma 分布在概率统计领域也是一个万人迷，众多统计分布和它有密切关系。指数分布和$\chi^2$ 分布都是特殊的Gamma 分布。另外Gamma 分布作为先验分布是很强大的，在贝叶斯统计分析中被广泛的用作其它分布的先验。如果把统计分布中的共轭关系类比为人类生活中的情侣关系的话，那指数分布、Poission分布、正态分布、对数正态分布都可以是 Gamma 分布的情人。接下来的内容中中我们主要关注$\beta = 1$的简单形式的 Gamma 分布。
         </p>
         <p>
          Gamma 分布首先和 Poisson 分布、Poisson 过程发生密切的联系。我们容易发现Gamma 分布的概率密度和 Poisson 分布在数学形式上具有高度的一致性。参数为$\lambda$的Poisson 分布，概率写为
          <br/>
          $$Poisson(X=k|\lambda) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $$
          <br/>
          在 Gamma 分布的密度中取 $\alpha = k+1$ 得到
          <br/>
          $$Gamma(x|\alpha=k+1) = \frac{x^ke^{-x}}{\Gamma(k+1)}= \frac{x^k e^{-x}}{k!} $$
          <br/>
          所以这两个分布数学形式上是一致的，只是 Poisson 分布是离散的，Gamma 分布是连续的，可以直观的认为 Gamma 分布是 Poisson 分布在正实数集上的连续化版本。
         </p>
         <p>
          这种数学上的一致性是偶然的吗？这个问题我个人曾经思考了很久，终于想明白了从二项分布出发能把 Gamma 分布和 Poisson 分布紧密联系起来。我们在概率统计中都学过 $Poisson(\lambda)$ 分布可以看成是二项分布 $B(n,p)$ 在 $np=\lambda, n \rightarrow \infty$ 条件下的极限分布。如果你对二项分布关注的足够多，可能会知道二项分布的随机变量$X\sim B(n,p)$满足如下一个很奇妙的恒等式
          <br/>
          \begin{equation}
          <br/>
          \label{binomial-beta}
          <br/>
          P(X \le k) = \frac{n!}{k!(n-k-1)!} \int_p^1 t^k(1-t)^{n-k-1} dt  \quad  (*)
          <br/>
          \end{equation}
         </p>
         <p>
          这个等式反应的是二项分布和 Beta 分布之间的关系，证明并不难，它可以用一个物理模型直观的做概率解释，而不需要使用复杂的数学分析的方法做证明。由于这个解释和 Beta 分布有紧密的联系，所以这个直观的概率解释我们放到下一个章节，讲解 Beta/Dirichlet 分布的时候进行。此处我们暂时先承认(*)这个等式成立。我们在等式右侧做一个变换$t=\frac{x}{n}$,得到
          <br/>
          \begin{align}
          <br/>
          P(X \le k) &amp; = \frac{n!}{k!(n-k-1)!} \int_p^1 t^k(1-t)^{n-k-1} dt \notag \\
          <br/>
          &amp; = \frac{n!}{k!(n-k-1)!} \int_{np}^{n} (\frac{x}{n})^k(1-\frac{x}{n})^{n-k-1} d\frac{x}{n} \notag \\
          <br/>
          &amp; = \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} \int_{np}^{n} (\frac{x}{n})^k(1-\frac{x}{n})^{n-k-1} dx \notag \\
          <br/>
          &amp; = \int_{np}^{n} \binom{n-1}{k}(\frac{x}{n})^k(1-\frac{x}{n})^{n-k-1} dx \notag \\
          <br/>
          &amp; = \int_{np}^{n} Binomial(Y=k|n-1,\frac{x}{n})dx
          <br/>
          \end{align}
          <br/>
          上式左侧是二项分布 $B(n,p)$, 而右侧为无穷多个二项分布 $B(n-1,\frac{x}{n})$的积分和, 所以可以写为
          <br/>
          \begin{equation}
          <br/>
          \label{binomial-beta-binomial}
          <br/>
          Binomial(X \le k|n,p) = \int_{np}^{n} Binomial(Y=k|n-1,\frac{x}{n})dx  \quad
          <br/>
          \end{equation}
          <br/>
          实际上，对上式两边在条件$np=\lambda, n \rightarrow \infty$ 下取极限，则左边有 $B(n,p) \rightarrow Poisson(\lambda)$, 而右边有$B(n-1,\frac{x}{n}) \rightarrow Poisson(x)$,所以得到
          <br/>
          \begin{equation}
          <br/>
          Poisson(X \le k|\lambda) = \int_\lambda^\infty Poisson(Y=k|x)dx
          <br/>
          \end{equation}
          <br/>
          把上式右边的Possion 分布展开，于是得到
          <br/>
          $$ Poisson(X \le k|\lambda) = \int_\lambda^\infty Poisson(Y=k|x)dx = \int_\lambda^\infty \frac{x^k e^{-x}}{k!} dx $$
          <br/>
          所以对于们得到如下一个重要而有趣的等式
          <br/>
          \begin{equation}
          <br/>
          \label{poisson-gamma}
          <br/>
          Poisson(X \le k|\lambda) = \int_\lambda^\infty \frac{x^k e^{-x}}{k!} dx  \quad   (**)
          <br/>
          \end{equation}
         </p>
         <p>
          接下来我们继续玩点好玩的，对上边的等式两边在 $\lambda \rightarrow 0$ 下取极限，左侧Poisson分布是要至少发生k个事件的概率， $\lambda \rightarrow 0$ 的时候就不可能有事件发生了，所以 $P(X \le k)\rightarrow 1$, 于是我们得到
          <br/>
          $$ 1 = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \int_\lambda^\infty \frac{x^k e^{-x}}{k!} dx
          <br/>
          = \int_0^\infty \frac{x^k e^{-x}}{k!} dx $$
          <br/>
          在这个积分式子说明 $f(x) = \frac{x^k e^{-x}}{k!} $在正实数集上是一个概率分布函数，而这个函数恰好就是Gamma 分布。我们继续把上式右边中的 $k!$ 移到左边，于是得到
          <br/>
          $$ k! = \int_0^\infty x^k e^{-x} dx $$
          <br/>
          于是我们得到了 $k!$ 表示为积分的方法。
         </p>
         <p>
          看，我们从二项分布的一个等式出发, 同时利用二项分布的极限是Possion 分布这个性质，基于比较简单的逻辑，推导出了 Gamma 分布，同时把 $k!$ 表达为 Gamma 函数了！实际上以上推导过程是给出了另外一种相对简单的发现 Gamma 函数的途径。
         </p>
         <p>
          回过头我们看看(**)式,非常有意思，它反应了Possion 分布和 Gamma 分布的关系，这个和(*)式中中反应的二项分布和Beta 分布的关系具有完全相同的结构。把(**)式变形一下得到
          <br/>
          $$ Poisson(X \le k|\lambda) + \int_0^\lambda\frac{x^k e^{-x}}{k!}dx = 1 $$
          <br/>
          我们可以看到，Poisson分布的概率累积函数和Gamma 分布的概率累积函数有互补的关系。
         </p>
         <p>
          其实(*)和(**)这两个式子都是陈希儒院士的《概率论与数理统计》这本书第二章的课后习题，不过陈老师习题答案中给的证明思路是纯粹数学分析的证明方法，虽然能证明等式成立，但是看完证明后无法明白这两个等式是如何被发现的。上诉的论述过程说明，从二项分布出发，这两个等式都有可以很好的从概率角度进行理解。希望以上的推导过程能给大家带来一些对 Gamma 函数和 Gamma 分布的新的理解，让Gamma 分布不再神秘。
         </p>
         <p>
         </p>
         <div class="wumii-hook">
          <br/>
          <br/>
         </div>
        </div>
        <!-- .entry-content -->
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        </footer>
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       <div class="comments-area" id="comments">
        <h2 class="comments-title">
         《
         <span>
          LDA-math-神奇的Gamma函数
         </span>
         》有42个想法
        </h2>
        <ol class="comment-list">
         <li class="comment even thread-even depth-1 parent" id="comment-3566">
          <article class="comment-body" id="div-comment-3566">
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             <b class="fn">
              TNTDoctor
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
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              <time datetime="2013-01-13T23:21:40+00:00">
               2013/01/13 23:21
              </time>
             </a>
            </div>
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           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             统计之都的这些latex公式好漂亮，这是用什么技术弄上去的啊
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
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            </a>
           </div>
          </article>
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          <ol class="children">
           <li class="comment odd alt depth-2" id="comment-3569">
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               <b class="fn">
                <a class="url" href="http://Www.cloudlychen.net" rel="external nofollow">
                 Liyun
                </a>
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3569">
                <time datetime="2013-01-14T02:39:12+00:00">
                 2013/01/14 02:39
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
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             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               Wp的latex插件吧
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
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             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
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           <li class="comment even depth-2" id="comment-3577">
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               <b class="fn">
                stephenlee
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3577">
                <time datetime="2013-01-14T12:34:54+00:00">
                 2013/01/14 12:34
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               mathJax (javascript 插件）。 你把鼠标放在公式上，然后右键就明白了。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给stephenlee" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3577#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3577", "3577", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
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              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
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         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1 parent" id="comment-3568">
          <article class="comment-body" id="div-comment-3568">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://Www.cloudlychen.net" rel="external nofollow">
               Liyun
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3568">
              <time datetime="2013-01-14T02:38:27+00:00">
               2013/01/14 02:38
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             文章标题好怪异…
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给Liyun" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3568#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3568", "3568", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
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            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-rickjin bypostauthor even depth-2 parent" id="comment-3570">
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               <b class="fn">
                <a class="url" href="http://weibo.com/rickjin" rel="external nofollow">
                 rickjin
                </a>
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3570">
                <time datetime="2013-01-14T09:31:32+00:00">
                 2013/01/14 09:31
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
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             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               你说的是标题中的 LDA-math  这个前缀吧。因为这是一个系列文章， 主要目的是介绍 Machine Learning 中的 LDA 模型。 前面的几个章节都算是 LDA 的数学背景铺垫。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给rickjin" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3570#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3570", "3570", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
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              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
            <ol class="children">
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                 <b class="fn">
                  <a class="url" href="http://www.cloudlychen.net" rel="external nofollow">
                   liyun
                  </a>
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3572">
                  <time datetime="2013-01-14T10:52:52+00:00">
                   2013/01/14 10:52
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
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               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 对的…很久不见横划线…
                 <br/>
                 再弄个文艺一点的名字嘛，什么前世今生今世前生的… ^_^
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
            </ol>
            <!-- .children -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
           <li class="comment byuser comment-author-yixuanq even depth-2 parent" id="comment-3574">
            <article class="comment-body" id="div-comment-3574">
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               <b class="fn">
                <a class="url" href="http://yixuan.cos.name/cn" rel="external nofollow">
                 邱怡轩
                </a>
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3574">
                <time datetime="2013-01-14T11:04:34+00:00">
                 2013/01/14 11:04
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               前世今生已经是正态分布的了。:D @rickjin
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给邱怡轩" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3574#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3574", "3574", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
            <ol class="children">
             <li class="comment byuser comment-author-rickjin bypostauthor odd alt depth-3" id="comment-3576">
              <article class="comment-body" id="div-comment-3576">
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                 <b class="fn">
                  <a class="url" href="http://weibo.com/rickjin" rel="external nofollow">
                   rickjin
                  </a>
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3576">
                  <time datetime="2013-01-14T12:32:46+00:00">
                   2013/01/14 12:32
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
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               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 正态分布还算比较大众化， 文艺一下还有市场。  LDA 这种太专业化了，太文艺了会被拍的, 还是低调点了
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
            </ol>
            <!-- .children -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1 parent" id="comment-3585">
          <article class="comment-body" id="div-comment-3585">
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             <b class="fn">
              lxduan
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3585">
              <time datetime="2013-01-15T12:56:07+00:00">
               2013/01/15 12:56
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             黎曼函数ζ(s)的第三项有笔误。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给lxduan" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3585#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3585", "3585", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-rickjin bypostauthor odd alt depth-2" id="comment-3587">
            <article class="comment-body" id="div-comment-3587">
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               <b class="fn">
                <a class="url" href="http://weibo.com/rickjin" rel="external nofollow">
                 rickjin
                </a>
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3587">
                <time datetime="2013-01-15T13:41:33+00:00">
                 2013/01/15 13:41
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               谢谢， 修复了
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给rickjin" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3587#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3587", "3587", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment byuser comment-author-dingpeng even thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-3592">
          <article class="comment-body" id="div-comment-3592">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              丁鹏
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3592">
              <time datetime="2013-01-17T18:20:11+00:00">
               2013/01/17 18:20
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             （*） 和 （**）的论述似乎复杂化了，这是初等概率论的一个结论，俗称 Poisson-Gamma duality. 将Poisson 和 Gamma 耦合到同一个Poisson Process with rate parameter $1$，$N_t$ 为 $[0, t]$ 之间的计数 （Poisson$(t)$），$X_n$ 为第 $n$ 个事件的到达时间（Gamma$(n, \lambda)$）。由于 $\{ N_\lambda &gt; k  \} = \{X_k &lt; \lambda\}$，因此两个事件有相同的概率，（**）成立。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给丁鹏" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3592#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3592", "3592", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment byuser comment-author-dingpeng odd alt thread-even depth-1 parent" id="comment-3593">
          <article class="comment-body" id="div-comment-3593">
           <footer class="comment-meta">
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             <b class="fn">
              丁鹏
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3593">
              <time datetime="2013-01-17T18:27:11+00:00">
               2013/01/17 18:27
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             （*） 和 （**）的论述似乎复杂化了，这是初等概率论的一个结论，俗称 Poisson-Gamma duality. 将Poisson 和 Gamma 耦合到同一个Poisson Process with rate parameter $1$，$N_t$ 为 $[0, t]$ 之间的计数 （Poisson$(t)$），$X_k$ 为第 $k$ 个事件的到达时间（Gamma$(k, 1)$）。由于 $\{ N_\lambda \leq k \} = \{X_k \geq \lambda\}$，因此两个事件有相同的概率，（**）成立。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给丁鹏" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3593#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3593", "3593", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment byuser comment-author-rickjin bypostauthor even depth-2" id="comment-3595">
            <article class="comment-body" id="div-comment-3595">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
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               <b class="fn">
                <a class="url" href="http://weibo.com/rickjin" rel="external nofollow">
                 rickjin
                </a>
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3595">
                <time datetime="2013-01-18T00:24:01+00:00">
                 2013/01/18 00:24
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               谢谢comment，你给的这个方法很简洁，之前也想到过，从这个角度解释对于概率统计背景的同学非常自然，不过需要一定的随机过程的背景知识。当时有点犹豫是否从这个角度写，我写这个系列主要想给工程师看，困难是大部分的工程师都缺乏对 Poisson Process 的认识。 我想后续可以修改一下，把你论述的这个角度也补充上。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给rickjin" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3595#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3595", "3595", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
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              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-3603">
          <article class="comment-body" id="div-comment-3603">
           <footer class="comment-meta">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://www.mathbeta.com/" rel="external nofollow">
               Allen
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3603">
              <time datetime="2013-01-19T14:00:52+00:00">
               2013/01/19 14:00
              </time>
             </a>
            </div>
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           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             写的很详细，真有耐心啊，学习！我写东西，很难坚持写这么多…
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给Allen" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3603#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3603", "3603", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
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            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-3737">
          <article class="comment-body" id="div-comment-3737">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/c625f2c883a18c62e7da17ad70079abe?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              kelffon
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-3737">
              <time datetime="2013-02-21T13:01:18+00:00">
               2013/02/21 13:01
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             （**）式下边这句 “左侧Poisson分布是要至少发生k个事件的概率，…” 应该是“…至多发生k个事件的概率，”
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给kelffon" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=3737#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-3737", "3737", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
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            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="pingback odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-3917">
          <div class="comment-body">
           Pingback：
           <a class="url" href="http://blog.cos.name/taoshi/2013/04/05/%e4%b8%89%e6%9c%88%e7%bb%9f%e8%ae%a1%e4%b9%8b%e9%83%bd%e6%b2%99%e9%be%99%e8%a7%81%e9%97%bb/" rel="external nofollow">
            三月统计之都沙龙见闻 » 从数据中看规律
           </a>
          </div>
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1 parent" id="comment-4183">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4183">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/9c4e4a752dbba7c04cbfa3d31614eec2?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              wangsong
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-4183">
              <time datetime="2013-05-11T12:00:38+00:00">
               2013/05/11 12:00
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             非常有内容的文章，已将这篇文章放到维基相关内容的外部链接上了：
             <br/>
             <a href="http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%88%86%E5%B8%83" rel="nofollow">
              http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%BD%E7%8E%9B%E5%88%86%E5%B8%83
             </a>
            </p>
            <p>
             另：负二项式分布似乎是Gamma分布的实数集版本，建议在此文中增加相关内容。
            </p>
            <p>
             matplot(cbind(diff(pgamma (q=1:4000,shape=20,scale=990/10)),
             <br/>
             diff(pnbinom(q=1:4000,size=20,prob=0.01))    ),type=’l’)
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给wangsong" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=4183#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4183", "4183", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
          <ol class="children">
           <li class="comment odd alt depth-2 parent" id="comment-4184">
            <article class="comment-body" id="div-comment-4184">
             <footer class="comment-meta">
              <div class="comment-author vcard">
               <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/9c4e4a752dbba7c04cbfa3d31614eec2?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
               <b class="fn">
                wangsong
               </b>
               <span class="says">
                说道：
               </span>
              </div>
              <!-- .comment-author -->
              <div class="comment-metadata">
               <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-4184">
                <time datetime="2013-05-11T12:31:17+00:00">
                 2013/05/11 12:31
                </time>
               </a>
              </div>
              <!-- .comment-metadata -->
             </footer>
             <!-- .comment-meta -->
             <div class="comment-content">
              <p>
               不太准确的描述：
               <br/>
               Gamma分布更像是从纯数学推倒出来的高度抽象、形式化（不直观、不易理解）的万金油；工程实践中应用的某些（直观、易理解的）分布可以认为是Gamma分布的特例。
               <br/>
               如果能有更多的篇幅介绍这些分布之间的一般化或特例化关系，会更有意义。
               <br/>
               在我的角度来看，具体的数学推导细节，不如阐述分布间的关系和“思路”重要。
              </p>
             </div>
             <!-- .comment-content -->
             <div class="reply">
              <a aria-label="回复给wangsong" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=4184#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4184", "4184", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
               回复
              </a>
             </div>
            </article>
            <!-- .comment-body -->
            <ol class="children">
             <li class="comment byuser comment-author-rickjin bypostauthor even depth-3" id="comment-4188">
              <article class="comment-body" id="div-comment-4188">
               <footer class="comment-meta">
                <div class="comment-author vcard">
                 <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/a2ba84c14342b34f6c0d9f53f3c5639e?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
                 <b class="fn">
                  <a class="url" href="http://weibo.com/rickjin" rel="external nofollow">
                   rickjin
                  </a>
                 </b>
                 <span class="says">
                  说道：
                 </span>
                </div>
                <!-- .comment-author -->
                <div class="comment-metadata">
                 <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-4188">
                  <time datetime="2013-05-11T22:27:26+00:00">
                   2013/05/11 22:27
                  </time>
                 </a>
                </div>
                <!-- .comment-metadata -->
               </footer>
               <!-- .comment-meta -->
               <div class="comment-content">
                <p>
                 您好， 非常感谢您的 comment。 这个Gamma 函数的介绍写得并不让我满意， 正准备收集一些资料， 好好修改一下文章， 希望能写得更系统、更通俗些。请您多帮忙指教
                </p>
               </div>
               <!-- .comment-content -->
              </article>
              <!-- .comment-body -->
             </li>
             <!-- #comment-## -->
            </ol>
            <!-- .children -->
           </li>
           <!-- #comment-## -->
          </ol>
          <!-- .children -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-4483">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4483">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/9c4e4a752dbba7c04cbfa3d31614eec2?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              wangsong
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-4483">
              <time datetime="2013-07-02T22:52:35+00:00">
               2013/07/02 22:52
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             推荐一个气象界人士写的包含概率分布的文章：
             <br/>
             <a href="http://zxw.xjxnw.com/ZCL/index.htm" rel="nofollow">
              http://zxw.xjxnw.com/ZCL/index.htm
             </a>
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给wangsong" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=4483#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4483", "4483", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-4791">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4791">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/e5f967c3b50e38efe6680344d401c789?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              CrawlingForward
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-4791">
              <time datetime="2013-09-04T17:07:18+00:00">
               2013/09/04 17:07
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             写的很用心，不过对于我这种常年不碰数学的来说，还是需要再回去翻翻书
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给CrawlingForward" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=4791#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4791", "4791", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-4999">
          <article class="comment-body" id="div-comment-4999">
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            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/1346063812" rel="external nofollow">
               quickshare
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-4999">
              <time datetime="2013-10-24T13:04:44+00:00">
               2013/10/24 13:04
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             收藏一下   楼主加油
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给quickshare" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=4999#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-4999", "4999", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-5267">
          <article class="comment-body" id="div-comment-5267">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://t.qq.com/Jiang-L-U" rel="external nofollow">
               夜色
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-5267">
              <time datetime="2014-01-10T09:06:09+00:00">
               2014/01/10 09:06
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             很经典，写的非常详细，适合像我这样的业余人士，解决了我的很多疑惑！
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给夜色" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=5267#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5267", "5267", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-5300">
          <article class="comment-body" id="div-comment-5300">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/2753502254" rel="external nofollow">
               hkkao
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-5300">
              <time datetime="2014-01-28T22:04:13+00:00">
               2014/01/28 22:04
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             "当 n=1/2 的时候，带入(*)式计算，整理后可以得到"
             <br/>
             這個得到的結果，我代入1/2驗算會多出一個根號2，
             <br/>
             就是(*)中最前面(2/1)^n該項跑出來的
            </p>
            <p>
             所以我的結果正如以下網址wallis公式的形式：
             <br/>
             <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product" rel="nofollow">
              http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
             </a>
            </p>
            <p>
             不知道怎麼會這樣，有人可告訴我錯在哪麼？
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给hkkao" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=5300#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5300", "5300", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-5350">
          <article class="comment-body" id="div-comment-5350">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/echo80hou" rel="external nofollow">
               Santur_Yang
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-5350">
              <time datetime="2014-02-14T15:00:30+00:00">
               2014/02/14 15:00
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             这个格式太不支持simple highlighter了。。。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给Santur_Yang" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=5350#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5350", "5350", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-5393">
          <article class="comment-body" id="div-comment-5393">
           <footer class="comment-meta">
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             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/omytea" rel="external nofollow">
               omytea
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-5393">
              <time datetime="2014-02-26T22:35:57+00:00">
               2014/02/26 22:35
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             mark一记
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给omytea" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=5393#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5393", "5393", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-5399">
          <article class="comment-body" id="div-comment-5399">
           <footer class="comment-meta">
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             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/1997763905" rel="external nofollow">
               疯狂的拖鞋
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-5399">
              <time datetime="2014-03-03T14:11:16+00:00">
               2014/03/03 14:11
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             "当 n=1/2 的时候，带入(*)式计算，整理后可以得到"后面的公式不对吧？怎么都跑根号里面了？
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给疯狂的拖鞋" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=5399#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5399", "5399", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-5453">
          <article class="comment-body" id="div-comment-5453">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/houseofyork" rel="external nofollow">
               呆望雨的小丸子又有心事
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-5453">
              <time datetime="2014-03-17T14:39:32+00:00">
               2014/03/17 14:39
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             Mark一记
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给呆望雨的小丸子又有心事" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=5453#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5453", "5453", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-5455">
          <article class="comment-body" id="div-comment-5455">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://t.163.com/0405759748" rel="external nofollow">
               jmchen0402
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-5455">
              <time datetime="2014-03-17T19:54:12+00:00">
               2014/03/17 19:54
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             Correct me if I’m wrong:
             <br/>
             （**）式令lambda趋于0时，左边应该是至多发生k次的概率吧，Poisson（X lessthan  |lambda）应该等于0而非1？
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给jmchen0402" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=5455#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5455", "5455", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-5599">
          <article class="comment-body" id="div-comment-5599">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/1663647441" rel="external nofollow">
               罗嗦不说话
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
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              <time datetime="2014-04-26T19:38:13+00:00">
               2014/04/26 19:38
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
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           <div class="comment-content">
            <p>
             忍不住赞个
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给罗嗦不说话" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=5599#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5599", "5599", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-5624">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://www.zhouleyu.com/life/skinny-essential-oils-work-again" rel="external nofollow">
               zhouleyu
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
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               2014/04/30 13:12
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             忍不住赞个
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给zhouleyu" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=5624#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5624", "5624", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
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         </li>
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://t.qq.com/baobaotuoiio" rel="external nofollow">
               baobaotuoiio
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
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               2014/05/30 06:59
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
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           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             文中令x=βt,就得到Gamma(t|α,β)。我怎么看着觉得变换后应该是β的α-1次幂呢？不懂
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给baobaotuoiio" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=5814#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-5814", "5814", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
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         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-6190">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://t.qq.com/luohuafeng362329" rel="external nofollow">
               l丰子
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
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              <time datetime="2014-08-29T16:47:12+00:00">
               2014/08/29 16:47
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             好东西
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给l丰子" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=6190#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-6190", "6190", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-6209">
          <article class="comment-body" id="div-comment-6209">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://t.qq.com/Lutongya" rel="external nofollow">
               Lutongya
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
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              <time datetime="2014-09-09T17:23:33+00:00">
               2014/09/09 17:23
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
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           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             想请教一下，如果知道gamma分布的累积概率，怎么求gamma分布的两个参数？谢谢。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给Lutongya" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=6209#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-6209", "6209", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-6334">
          <article class="comment-body" id="div-comment-6334">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/1710022647" rel="external nofollow">
               舟川
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
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               2014/10/30 15:28
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             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
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           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             在(3)式之前的对poisson和gamma分布的比较部分,形式上是很相似.但是两者的参数跟随机变量都是不一样的吧,poisson中随机变量是X,个数的意义;lambda是参数,平均速率.Gamma中假如参数也是alpha,那对应于poisson公式中对应lambda的位置就不相同;而如果将alpha当成是随机变量,x是参数,那整个式子对alpha的积分感觉不可能是1.而到处找也找不到更多的关于poisson和gamma除间隔之外的类似博主所说的这种关系的说明.这个互补性是不是有点牵强?
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给舟川" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=6334#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-6334", "6334", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="pingback odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-6346">
          <div class="comment-body">
           Pingback：
           <a class="url" href="http://blog.vivym.xyz/?p=300" rel="external nofollow">
            【转载】LDA-math-神奇的Gamma函数 | viv's blog
           </a>
          </div>
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-6348">
          <article class="comment-body" id="div-comment-6348">
           <footer class="comment-meta">
            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://t.qq.com/mouclim" rel="external nofollow">
               mouclim
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-6348">
              <time datetime="2014-11-07T22:59:58+00:00">
               2014/11/07 22:59
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             非常好的内容，强烈推荐！
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给mouclim" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=6348#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-6348", "6348", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-6416">
          <article class="comment-body" id="div-comment-6416">
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             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://weibo.com/3316244342" rel="external nofollow">
               Bravo_yeaaaah
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
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              <time datetime="2014-12-01T12:30:26+00:00">
               2014/12/01 12:30
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             Poisson 和 Gamma分布关系那里有点小问题，但是，帮我看懂了gamma分布
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给Bravo_yeaaaah" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=6416#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-6416", "6416", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-6669">
          <article class="comment-body" id="div-comment-6669">
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             <b class="fn">
              安妮
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
             <a href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/#comment-6669">
              <time datetime="2015-04-17T09:22:57+00:00">
               2015/04/17 09:22
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             你问作者叫什么迷宫子啊
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给安妮" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=6669#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-6669", "6669", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-6670">
          <article class="comment-body" id="div-comment-6670">
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            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/24574eb1649ebb96b6fe5753912eea20?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              安妮
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
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              <time datetime="2015-04-17T09:23:27+00:00">
               2015/04/17 09:23
              </time>
             </a>
            </div>
            <!-- .comment-metadata -->
           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             名字
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给安妮" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=6670#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-6670", "6670", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
             回复
            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment even thread-even depth-1" id="comment-7080">
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            <div class="comment-author vcard">
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             <b class="fn">
              穩時時
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
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              <time datetime="2016-02-28T11:06:02+00:00">
               2016/02/28 11:06
              </time>
             </a>
            </div>
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           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             ＭＭＭ
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给穩時時" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=7080#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-7080", "7080", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
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            </a>
           </div>
          </article>
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         </li>
         <!-- #comment-## -->
         <li class="comment odd alt thread-odd thread-alt depth-1" id="comment-7132">
          <article class="comment-body" id="div-comment-7132">
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            <div class="comment-author vcard">
             <img src="http://sdn.geekzu.org/avatar/c55231fe29507c762977d226be420264?s=74&amp;d=monsterid&amp;r=g"/>
             <b class="fn">
              <a class="url" href="http://johnbown.com" rel="external nofollow">
               JohnBown
              </a>
             </b>
             <span class="says">
              说道：
             </span>
            </div>
            <!-- .comment-author -->
            <div class="comment-metadata">
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              <time datetime="2016-04-04T17:14:00+00:00">
               2016/04/04 17:14
              </time>
             </a>
            </div>
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           </footer>
           <!-- .comment-meta -->
           <div class="comment-content">
            <p>
             收获颇多，特表谢意。
            </p>
           </div>
           <!-- .comment-content -->
           <div class="reply">
            <a aria-label="回复给JohnBown" class="comment-reply-link" href="http://cos.name/2013/01/lda-math-gamma-function/?replytocom=7132#respond" onclick='return addComment.moveForm( "div-comment-7132", "7132", "respond", "6915" )' rel="nofollow">
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            </a>
           </div>
          </article>
          <!-- .comment-body -->
         </li>
         <!-- #comment-## -->
        </ol>
        <!-- .comment-list -->
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           </textarea>
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           <label for="url">
            站点
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          <p style="font-size:12px;margin-left:15px">
           微信号 CapStat
          </p>
          <p>
           我们将第一时间向您推送主站和论坛的精彩内容，以及统计之都的线下活动、竞赛、培训和会议信息。
          </p>
         </div>
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             教育培训
            </a>
           </li>
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            </a>
           </li>
           <li class="page_item">
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           </li>
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            <a href="http://cos.name/chinar/">
             R语言会议
            </a>
           </li>
          </ul>
         </div>
        </aside>
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          友情链接
         </h3>
         <ul class="xoxo blogroll">
          <li>
           <a href="http://stat.ruc.edu.cn" target="_blank" title="中国人民大学统计学院网站">
            中国人民大学统计学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://rucdmc.net">
            中国人民大学数据挖掘中心
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://birc.gsm.pku.edu.cn/" target="_blank">
            北京大学商务智能研究中心
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://sam.cufe.edu.cn/" target="_blank" title="中央财经大学统计与数学学院网站">
            中央财经大学统计与数学学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://tjx.cueb.edu.cn/" target="_blank" title="首都经济贸易大学统计学院网站">
            首经贸统计学院
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://www.shookr.com/">
            数客网大数据社区
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://www.xueqing.tv/" target="_blank" title="数据科学在线学习平台">
            雪晴数据网
           </a>
          </li>
          <li>
           <a href="http://iera.name/" target="_blank" title="IERA是一个旨在普及、传播和增进工业工程知识的非营利性网站">
            IERA（直通IE）
           </a>
          </li>
         </ul>
        </aside>
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           分析与代数  (1)
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           数据分析  (81)
          </option>
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           多元统计  (3)
          </option>
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           数据挖掘与机器学习  (42)
          </option>
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           生物与医学统计  (17)
          </option>
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           计量经济学  (4)
          </option>
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           金融统计  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="303">
           风险精算  (7)
          </option>
          <option class="level-0" value="177">
           模型专题  (15)
          </option>
          <option class="level-1" value="38">
           回归分析  (10)
          </option>
          <option class="level-1" value="41">
           时间序列  (2)
          </option>
          <option class="level-0" value="784">
           每周精选  (24)
          </option>
          <option class="level-1" value="183">
           可视化  (9)
          </option>
          <option class="level-0" value="967">
           沙龙纪要  (3)
          </option>
          <option class="level-0" value="18">
           经典理论  (46)
          </option>
          <option class="level-1" value="37">
           抽样调查  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="4">
           统计推断  (26)
          </option>
          <option class="level-1" value="236">
           试验设计  (7)
          </option>
          <option class="level-1" value="39">
           非参数统计  (3)
          </option>
          <option class="level-0" value="1">
           统计之都  (279)
          </option>
          <option class="level-1" value="884">
           中国R会议  (2)
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           出国留学  (3)
          </option>
          <option class="level-1" value="179">
           推荐文章  (90)
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           新闻通知  (75)
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           统计刊物  (10)
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           网站导读  (40)
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           职业事业  (51)
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          <option class="level-1" value="213">
           高校课堂  (9)
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          <option class="level-0" value="178">
           统计计算  (28)
          </option>
          <option class="level-1" value="40">
           优化与模拟  (15)
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          <option class="level-1" value="43">
           贝叶斯方法  (6)
          </option>
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           软件应用  (116)
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            fineboom
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           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/use-shiny-fleetly-set-up-visual-prototype-system/#comment-7317">
            利用shiny包快速搭建可视化原型系统
           </a>
           》
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            胡家新
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           发表在《
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            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
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             南糯山普洱茶
            </a>
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           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/06/r%e8%af%ad%e5%8d%83%e5%af%bb%e7%ac%ac%e4%b8%89%e6%9c%9f%ef%bc%9a%e5%bc%a0%e6%97%a0%e5%bf%8c%e7%a9%b6%e7%ab%9f%e7%88%b1%e8%b0%81%ef%bc%9f/#comment-7315">
            R语千寻第三期：张无忌究竟爱谁？
           </a>
           》
          </li>
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            J
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           发表在《
           <a href="http://cos.name/2016/05/value-of-the-reputation-from-the-data/#comment-7314">
            数据告诉你：高信誉的卖家应该收高价，还是收低价？
           </a>
           》
          </li>
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            <a class="url" href="http://gg" rel="external nofollow">
             Hilda
            </a>
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           发表在《
           <a href="http://cos.name/2013/01/drawing-map-in-r-era/#comment-7311">
            R时代，你要怎样画地图？
           </a>
           》
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            处理时间数据和产生时间序列的问题
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          <li>
           <a class="rsswidget" href="http://cos.name/cn/topic/6790/">
            《统计陷阱》下载 （How to lie with statistics）
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            统计学的世界（第五版）
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            class(x) 返回值值是AsIs,AsIs代表什么，有什么用处？
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            如何用R绘制一个分类算法的决策规则
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